Ο Λευτέρης Κουής έπαιξε ποδόσφαιρο σε πέντε ομάδες έχοντας μιά πλούσια ποδοσφαιρική καριέρα,με παρουσία και στην Α’Εθνική και σε ευρωπαικά παιχνίδια αλλά και στην Εθνική μας ομάδα.Με καταγωγή την Αμμόχωστο είχε συνέχεια και οικογενειακές μετακινήσεις αφού ο πατέρας του ήταν αστυνομικός. Στα 15 του χρόνια κατέβηκε προπονήσεις στην Ένωση μια και η οικογένεια έμενε στο Παραλίμνι.Το πρώτο ουσιαστικά βήμα για το ξεκίνημα της καριέρας του ήταν το 1976, όταν τον εντόπισε ο τότε έφορος ποδοσφαίρου του ΠΟΛ Νίκος Αναγνώστου και τον παίρνει στην ομάδα της Λάρνακας.Μπορεί να ήταν επιθετικός αλλά ο Βούλγαρος προπονητής Νίνο Βέλεφ τον έβαλε στόπερ.Με σκληρή δουλειά και πείσμα ο Κουής θα καθιερωθεί και θα ξεχωρίσει και έτσι το 1981 θα κληθεί από τον Σπάσοφ στην Εθνική ομάδα.
Το ντεμπούτο του στον Πεζοπορικό θα γίνει το 1978 εναντίον του Άρη,που ο ΠΟΛ κέρδισε με 3-0.Ντεμπούτο στην Εθνική θα κάνει το 1981 κατά της Σουηδίας-χάσαμε 1-0-ενώ το καθοριστικό παιχνίδι ήταν το 1983 με την Ιταλία στο Τσίρειο,που φέραμε 1-1 κάνοντας τη μεγάλη έκπληξη.Στον αγώνα αυτό έπαιξαν οι Α.Κωνσταντίνου, Ν.Παντζιαράς, Πατίκης, Κλείτος, Λ.Κουής, Φ.Θεοφάνους, Α.Χριστοδούλου, Γ.Σαββίδης, Κκέζος, Γιαγκουδάκης, Μαυρής.
Μπορεί να τον ήθελε ο Παναθηναικός, αλλά η προσφορά του είναι χαμηλή και την απορρίπτει ο ΠΟΛ.Το 1985 θα βρεθεί στον Απόλλωνα Αθηνών όπου παίζει για ενάμιση χρόνο.Κάνει πολύ καλή παρουσία,τον θέλει και ο Ολυμπιακός,όμως ένας σοβαρός τραυματισμός του τον αναγκάζει να επιστρέψει Κύπρο.Αφού περάσει για λίγο από την Ανόρθωση και τον Κεραυνό Στροβόλου,που έπαιζε Α’Κατηγορία, θα καταλήξει το 1988 με ενέργειες του πτοπονητή Νώνη Παπαγεωργίου στον ΑΠΟΕΛ.Με προπονητή τον Γ.Μαντζουράκη θα πάρει το πρωτάθλημα από την πρώτη χρονιά.Η παρουσία του στην ομάδα συνδιάστηκε με τον ερχομό των Γκόκιτς, Σάπουριτς. Τέσσερα χρόνια στο ΑΠΟΕΛ θα κερδίσει δύο πρωταθλήματα,ένα κύπελλο και ένα Σούπερ Καπ. Μιά πετυχημένη παρουσία στην οποία ξεχώριζε για το πάθος και τη δύναμη του.Ένας παίκτης που ξεκίνησε σέντερ φορ και ακολούθως έπαιξε ως αμυντικός χαφ πρίν καθιερωθεί ως στόπερ.Πρόσφερε τον καλύτερο εαυτό του και έχει τη δική του συμβολή στις επιτυχίες.
Ο Λευτέρης ήταν ένας δυνατός αλλά αθλητοπρεπής ποδοσφαιριστής.Στα 17 χρόνια που ήταν στα γήπεδα αποβλήθηκε μία φορά,το 1991-92 με τον Απόλλωνα στο Τσίρειο.Ένας πολυσύνθετος παίκτης που αποχώρησε στο 33 του χρόνια λόγω των προβλημάτων τραυματισμού που είχε.
Στον Πεζοπορικό έπαιξε με τους Παλμύρη, Α.Ιακώβου, Λάμπρου, Παστελλίδη, Κασπάρη, Θεοφάνους, Κουννά, Δαμιανού, Γαβριήλ,κ.α. Στον ΑΠΟΕΛ έπαιξε με τους Πετρίδη, Ιωάννου, Σωτηρίου, Φασουλιώτη, Κ.Παντζιαρά, Ιωαννίδη, Στεφανάκη, Ππούνα, Σάπουριτς, Γκόκιτς, Κλεάνθους, Σταύρου, Κώστα, Χατζηλούκα, Αλεξάνδρου, Πετροσιάν,κ.α. Τέσσερα χρόνια στους γαλαζοκίτρινους πήρε τέσσερις τίτλους και καταξιώθηκε ο Κουής που ήθελε να πανηγυρίσει τίτλους στην καριέρα του.
