Ο Μουρτάζ Νταουσβίλι αποτελεί μια από τις περιπτώσεις που εξετάζονται στην Ανόρθωση για την αναπλήρωση του κενού που άφησε στη μεσαία γραμμή με την αποχώρηση του ο Ζοάο Βίκτορ.
Εάν η περίπτωση του 30χρονου Γεωργιανού διεθνούς προχωρήσει, τότε η Κύπρος θα αποτελέσει τον πρώτο του προορισμό εκτός του πρώην ανατολικού μπλοκ, αφού ο Νταουσβίλι πέρασε όλα τα χρόνια της καριέρας του παίζοντας στην πατρίδα του, στην Ουκρανία, αλλά και στην Ουγγαρία.
Ο Νταουσβίλι έκανε τα πρώτα του επαγγελματικά βήματα στη Ζεσταφόνι Γεωργίας, τη φανέλα της οποίας φόρεσε για έξι χρόνια. Ακολούθως μεταπήδησε στην Ουκρανία και την Καρπάτι, όπου έπαιξε από το 2011 ως το 2016. Ακολούθως έφυγε για την ουγγρική Ντιοσγκιόρ, επέστρεψε για ένα χρόνο στην πατρίδα του και την Σαμτρέντια και πέρσι αγωνίστηκε ξανά στην Ουγγαρία, για λογαριασμό της ουραγού Χαλάντας, με την οποία μέτρησε 18 συμμετοχές στο πρωτάθλημα.
